“최고의 수학은 기묘한 보편성에 있다”
극강의 수학을 탐닉하는 이들을 위한 수학문제의 최전선

당신은 수학이라는 과목이 얼마나 광범위한지, 학교에서 배운 수학보다 얼마나 더 풍요로운지,
얼마나 다양하게 응용될 수 있는지, 그러면서도 수학의 여러 부분이 어떻게
탄탄하게 연결되어 전체를 이루는지에 대해 좀 더 이해하게 될 것이다.
더구나 그 모두는 수수께끼 풀이와 게임으로 얻게 될 것이다.
중요한 것은 당신의 사고를 유연하게 펼치는 일이다. 결코 놀이의 위력을 얕잡아보지 마시라.
- ‘들어가며’ 중에서

▼ 이언 스튜어트가 사랑하는, 우리 일상에 얽힌 극한의 수학문제들
누군가에게 수학은 순수한 공포를 경험하게 하는 학문이지만 다른 누군가에게는 세상을 이해하는 언어이자 즐거운 놀이다. 이 책의 저자 이언 스튜어트처럼 말이다. 스튜어트는 자신에게 수학은 영감과 즐거움의 원천이라고 말한다. 물론 조류 관찰자가 새를 향해 품은 열정을 모든 사람이 이해할 수 없듯 수학을 향한 열정을 모든 사람이 즐길 수 없을 거란 것도 알고 있다. 그래서 이 책은 수학에 매력을 이미 알고 있는 사람들, 적극적으로 수학을 좋아하는 사람들을 위한 책이다.
이언 스튜어트는 수학의 재미를 느낄 수 있는 20개의 고난이도 수학 퍼즐의 세계로 독자들을 초대한다. 이 책은 확률과 통계, 기하학은 물론이고 위상수학과 그래프 이론 등 수학 천재들이 세상을 바라보는 방식과 문제 해결법의 비밀을 엿보게 해준다. 오랜 시간 수학자들의 호기심과 탐구심을 자극해온 20가지 퍼즐들을 통해 독자들은 현대 수학의 핵심에 한층 쉽고 흥미롭게 다가갈 수 있다.
스튜어트는 1987년에서 2001년까지 〈사이언티픽 아메리칸Scientific American〉에 발표한 수학 게임에 관한 칼럼들을 기초로 해, 발견된 모든 오류를 수정했다. 본문 뒤에는 각 장에 해당하는 독자의 논평들이 실려 있는데, 자신의 생각과 비교하며 읽는다면 더욱 훌륭한 독서가 될 것이다.
스튜어트는 이 책의 목표가 추상적인 생각과 현실 세계를 잘 버무려 수학에 열광하는 독자에게서 다양한 수학적 아이디어를 끌어내는 것이라고 말한다. 현실에 적용한 수학문제들에서 실용적 해법을 얻는 것에 그치는 것이 아니라 새로운 수학의 가능성을 얻기를 바란다. 물론 몇 페이지의 글로 중요한 수학을 응용하고 개발하는 것은 매우 어렵다. 하지만 한 상황에서 도출된 수학적 아이디어가 예기치 않게 다른 상황에 적용되는지를 감상하는 것은 충분한 상상력만으로도 가능할 것이다.

▼ 케이크 나누기에서 알고리즘을 읽고, 비누거품에서 극소곡면을 보다
케이크를 나눠 먹는 일조차 ‘누구도 불만 없이 공평하게 나눠야 한다’는 조건이 붙는다면 쉽지 않은 일이 된다. 이때 여러 명의 사람들에게 케이크를 공정하게 나눠주는 법을 우리에게 알려주는 게 수학이다. ‘케이크 자르기’라는 주제는 최소한 3500년 전 고대 바빌로니아까지 거슬러 오르는 수학 문제다. 그럼에도 지금껏 명쾌한 해답은 알려지지 않고 있다. 책에서 제시하는 해답은 한 사람이 자르고 다른 사람이 고르는 것이다. 물론 피드백에 언급된 제임스 프래즐리의 논평을 빌리면, 질투 없는 분배의 문제를 해결하는 과제는 현실이나 계산과 무관하다. 인간에게는 항상 남의 떡은 커 보이게 마련이기 때문이다.
최고의 수학은 기묘한 보편성을 가진다. ‘전화기 줄은 왜 항상 엉켜 있을까?’에 대한 이야기는 엉킨 전화기 줄을 해결하는 데만 유용한 것이 아니다. 꼬이고 감기는 것은 현실 속에 많다. 식물의 덩굴손, DNA 분자, 해저 통신 케이블 등도 흔하게 볼 수 있는 잘 꼬이는 것들이다. 겉으로는 전혀 다르지만 이 현상들을 이해할 수 있게 하는 수학적 모형은 한 가지로 단순하다. 물론 그 모형이 원하는 모든 해답을 주지는 않는다. 다만 수학적 분석의 길을 열고, 그 기반 위에서 더 복잡하고 상세한 모형들이 개발될 수 있도록 해주기 때문에 중요한 것이다.
책은 이 밖에도 로또번호 당첨, 깜짝 시험의 날짜, 카드를 섞어도 다시 제자리로 돌아오는 마술, 로마황제의 군대배치 방법, 지도 색칠하기, 아시아 반딧불이의 특이한 행동 등 우연히 얻은 아이디어 속에서도 수학이 진지하게 생활에 응용된다는 것을 보여준다. 스튜어트가 책에서 말하고 싶은 것은 추상적인 생각과 현실 세계를 잘 버무려 다양한 수학적 아이디어를 끌어내는 것이다. 물론 이 책을 100% 이해하지 못할 수도 있다. 하지만 보통의 독자들도 충분한 지적 쾌락을 느끼면서 퍼즐 풀이에 빠져들 수 있다.
책은 장마다 독립적인 구성이라 어디를 먼저 읽어도 상관이 없다. 당연히 쉽다고 느끼는 장을 먼저 읽어도 좋다. 책을 읽고 나면 수학이라는 과목이 얼마나 광범위한지, 학교에서 배운 수학보다 얼마나 더 풍요로운지, 얼마나 다양하게 응용될 수 있는지 알게 될 것이다.

들어가며 / 5
1장 네 반쪽이 내 반쪽보다 크잖아! / 15
2장 동전 던지기의 확률은 공정하게 나올까? / 27
3장 가장 짧은 끈으로 신발 묶기 / 45
4장 간단하지만 까다로운 역설들 / 57
5장 네모상자에 둥근 우유병 채우기 / 71
6장 끝나지 않는 체스 게임 / 87
7장 사각형을 만드는 추상적 전략게임 / 99
8장 나를 감춰주는 프로토콜 / 107
9장 달에 있는 제국들 / 117
10장 제국들과 전자공학 / 133
11장 섞어도 섞어도 제자리 / 149
12장 이중 거품, 고생과 근심 / 165
13장 얽히고설킨 벽돌공장의 선로들 / 181
14장 질투 없는 케이크 분배 / 193
15장 찬란하게 빛나는 반딧불이들 / 205
16장 전화기 줄은 왜 항상 엉켜 있을까? / 217
17장 곳곳에 있는 시어핀스키의 삼각형 / 231
18장 로마제국을 방어하라 / 245
19장 삼각분할 가져가기 / 257
20장 부활절 날짜 맞히기 / 269
피드백 / 280
참고문헌 / 292