이토록 재미있는 수학책은 없었다
가장 간단한 수학의 문법으로 시작해
공리계와 확률, 고차원으로 뛰어넘는 발칙한 스토리

복잡한 숫자와 계산, 기호로 얽힌 수식을 한눈에 읽어내는 것은 더 이상 수학이 아니다! 《발칙한 수학책》의 젊은 수학 스토리텔러는 어렵고 따분하게만 느껴지는 수학을 세상에서 가장 유쾌한 이야기로 엮었다.
비둘기집의 원리로 확률을 살피고 머그잔 안의 가루로 고정점을 이해하는 것, 빨대의 구멍이 1개인지 2개인지 어쩌면 0개일지도 모른다는 궁금증과 0.9999...와 1은 같은 수라는 사실도 ‘디멘’의 이야기로 접근하면 아주 흥미로운 주제가 된다. 지금껏 본 적 없는 이야기로 당신의 뇌를 자극하며 숨어 있던 수학머리를 깨닫게 해주는 것이다.
이 책은 ‘볼록과 오목의 차이’, ‘고차원을 이해하기 어려운 이유’, ‘미적분이 필요한 때’와 같은 문제를 명쾌한 해설로, 한눈에 확인할 수 있는 그림으로 설명한다. 최소한의 정리와 엄밀한 기준이라는 수학의 문을 열고 당신이 알고 있던 수학이라는 재미없는 세계를 완전히 바꿔놓을 것이다.

이 책은 발칙하다. 수학을 다루는 저자의 솜씨와 생각은 시중에 나와 있는 다른 수학 교양서적에서는 결코 찾아볼 수 없다. (…) 매우 창의적이며 융합적이라는 데 의심의 여지가 없다.
- 이광연 《수학, 인문으로 수를 읽다》저자, 「감수의 글」에서

“세상에 수학 요리를 이렇게 맛있게 만들어낼 수 있는 요리사는 흔치 않다!”
수학 영재에서 젊은 수학 스토리텔러로, 디멘이 찾아낸 수학 치트키

평생 필요한 수학머리의 기초를 다지다
영재고 수학 수석 졸업생이 펼쳐내는
색다른 수학의 세계

세종과학예술영재고등학교 수학 수석 졸업, 프리스턴 대학교 물리대회 은상, 미국수학경시대회에서 상위 2~5%! 수학을 포기한 사람들이 지레 겁을 내는 작가의 수학적 재능 결과는 결코 어려운 시험에만 국한되지 않는다. 수학의 재미를 알려주고 흥미를 일깨워주기 위해 ‘디멘’이라는 필명으로 페이스북과 티스토리에 다양한 수학의 풀이 과정을 펼치며 쉽고 간단하게 그리고 수학만이 갖고 있는 아름다운 성질을 알렸다. 그리고 이 책은 수학의 유쾌한 모든 이야기를 더한 한 권이다!
수학은 결코 어렵지 않다. 6개의 기호와 12개의 추론 규칙, 그리고 적절히 정의된 공리계만으로도 설명 가능할 정도로 간단하다. 다만 논리적 추론을 위한 언어라는 차이만으로 곧바로 이해하는 데 어렵다고 착각할 뿐이다. 이 책은 우리가 쓰지 않아 굳어졌던 논리적 사고를 자극함으로써 사라졌던 수학머리를 되찾는 데 도움을 준다.

주어진 사실로부터 새로운 사실을 추론하는 능력, 여러 개념 사이의 연관성을 찾아내는 능력, 문제의 핵심을 꿰뚫고 이를 해결하는 데 필요한 조건을 찾아내는 능력. 이 모든 능력이 수학을 통해 우리가 배우고자 하는 것입니다.
「들어가며_수학이라는 아름다운 여정을 시작하기에 앞서」에서

수학은 결코 어려운 문제를 풀기 위한 도구가 아니다. 복잡하고 난해해 보이는 문제 속에 감춰진 원리를 찾는 것이다. 작은 점, 직선, 평면으로 시작해 더 거대한 세상에 대해서도 추론할 수 있도록 만들어준다. 3×3 둘러싸인 큐브의 가운데 보물이 있다면? 작가의 이야기에서는 간단해진다. 고차원으로 생각하면 빼낼 수 있다. 또한 의자의 다리가 4개인 이유, 종이를 끼지 않고도 흔들리는 의자를 바로잡는 일은 이 책에서만 만날 수 있는 재미다. 더 나아가 우주까지 더듬게 해주는 이 책은, 삼각형의 세 내각의 합이 180도라는 사실만으로도 지구가 둥글다는 실험과 그 결괏값으로 우주의 평평하다는 증명을 설명한다. 만약 이 책을 펼쳤다면 다시는 잊지 않을 새로운 수학을 선사해 줄 것이다.

복잡한 계산도 어려운 수식도 없이 술술 읽힌다
각각의 흥미로운 이야기가
하나의 수학적 논리로 마술처럼 꿰어지는 책

비둘기집 원리로 확률을 연결하고 커피를 휘젓는 방법으로 고정점과 슈페르너의 색칠을 탐구하는 것. 지구를 관통하는 터널을 상상하며 대척점의 존재를 확인하고 해석기하를 탐구하는 것. 가장 빠른 비행기 착석 방식과 수월하게 책을 순서대로 정리하는 방법으로 효율적인 알고리즘을 생각하는 것. 이 책의 가장 큰 재미는 구체적인 상황 속으로 독자를 끌어놓는 데 있다. 다만 가장 좋은 해답을 찾는 과정이 아닌, 엄밀한 방식으로 자신의 논리를 확장할 수 있게 해줌으로써 지루하고 어렵다는 수학의 오해에서 벗어나게 해준다.
이 책의 전반부에서 수학의 언어를 살폈다면 후반부에서는 유쾌한 스토리를 통해 각 숲속에 숨어 있는 비밀을 풀어나가는 과정을 담고 있다. 더러 어려운 수식에서 책 읽기를 멈출 수 있겠지만 작가의 쉬운 해설이 달려 있어 문제는 없다. 가장 많이 포기하는 미적분에 대한 설명은 통쾌할 정도다! 미분은 기울기를 구하고 적분은 면적을 구하는 방법이라는 간단한 정의에서 벗어날 수 있게 돕는다. 미분과 만유인력의 법칙을 발견한 뉴턴은 행성이 공전하는 속도와 언제 어떤 천체가 관측될지 또한 계산할 수 있었다. 앞선 이야기에 나온 수학적 논리를 기억하게끔 만들고 다시 몇 가지 흥미로운 주제를 향해 가는 것, 결국 하나의 수학적 논리로 꿰뚫는 힘은 이 책에만 존재한다.
또한 클레이 수학연구소에서 정한 밀레니엄 문제와 푸앵카레의 추측을 증명한 수학자 페렐만, 죄수의 딜레마와 세일즈맨 문제 등 이 책에는 평소 자주 언급되었던 이야기까지 가득 채워져 있다. 게다가 물리학과 수학이 만나 미래를 예측하려는 시도, 인과적 결정론이라는 라플라스의 악마에 대한 이야기까지 더해 수학과 우주, 우리가 사는 지금 시간에 대한 이야기까지 깊이 있게 다루고 있다.
작가가 준비한 전 과정을 마쳤을 때 비로소 우리는 수학이라는 낯선 세계의 탐험을 난생처음 마치게 되는 것이다.


감수의 글_발칙한 수학 스토리텔러의 발칙한 수학책!

이 책은 발칙하다. “하는 짓이나 말이 매우 버릇없고 막되어 괘씸하다”라는 뜻이 이 책에는 자연스럽게 연결된다. 수학을 다루는 저자의 솜씨와 생각은 시중에 나와 있는 다른 수학 교양서적에서는 결코 찾아볼 수 없다. 어떠한 규칙 없이 이리저리 글을 진행하는 것 같고, 전혀 관계 없는 수학 이론을 마구잡이로 도입하는 것만 같지만 페이지를 넘길수록 수학의 깊이 있는 모습을 마주하게끔 만든다. 모든 수학 내용이 마치 날줄과 씨줄처럼 정교하게 얽혀 있는 덕분이다. 매우 창의적이며 융합적이라는 데 의심의 여지가 없다.
독자는 이 책을 읽는 종종 머뭇거릴 수 있다. ‘도대체 지금 내가 무엇을 읽고 있는 것일까’ 하지만 인내심을 갖고 읽기를 지속한다면 저자가 펼쳐놓은 이야기가 점점 한 가지로 모여든다는 것을 깨닫게 될 것이다. 마치 넓은 바다에 거대한 그물을 던진 후 서서히 당겨 물고기를 잡듯, 저자는 거대한 수학의 그물을 바다에 던진 후 수학의 매력으로 독자를 끌어당긴다.
사실 이 책의 원고를 검토해달라는 의뢰를 처음 받았을 때만 해도 ‘대학생이 쓴 글이니 손봐야 할 부분이 많지 않겠어’라며 방대한 검토 내용을 어떻게 정리할지 망설였다. 하지만 내 생각은 원고의 1부 첫 장을 읽는 순간 기우였음을 인정하지 않을 수 없었다. 글은 마치 수학의 세계를 탐험하기 위해 발사된 우주선처럼 수학의 여러 행성을 아주 안전하고 매끄럽게 지나 수학에 관한 저자의 생각에까지 너무나도 평안하게 도착했다. 수학에 관한 교양서적을 꽤 썼다고 자부하고 있는 나조차 ‘나는 왜 이렇게 생각하고 설명하지 못했을까’라는 자책마저 들게 되는 명쾌한 설명이 있었고 재미있게 처리된 삽화까지 곁들여져 내용을 단숨에 읽어낼 수 있었다.
이 글을 모두 읽고 난 이후에 가장 먼저 든 생각은 서두에서 말했듯이 발칙하다는 거였다. 그리고 잠시 숨을 고르고 감수의 글을 쓰려고 하자 마치 잘 차려진 코스요리를 맛있게 먹고 난 후의 만족감이 밀려왔다. 모두 4부로 이루어진 이야기는 간단한 음료로 시작해 애피타이저로 이어졌고, 셰프의 정성이 가득한 메인 요리를 거쳐 달콤한 디저트까지 정말 행복하고 만족스러운 코스요리를 대접받은 기분이었다. 그래서 감히 독자 여러분에게도 잘 차려진 이 코스 요리를 강력히 권하고 싶다.

세상에 수학 요리를 이렇게 맛있게 만들어낼 수 있는 요리사는 흔치 않다. 그것도 아주 젊은 수학자가 쉽지 않은 요리 재료를 이 정도의 글과 내용으로 요리할 수 있음은 실로 놀라운 일이다. 앞으로 저자의 또 다른 책을 기대하게끔 하는 매우 훌륭한 결과물이기에 나는 이 책에 대해 권하고 또 권한다는 말밖에 더 이상 할 말이 없다.
그래서 나는 이 책에 어떤 내용이 어떻게 소개되고 있는지를 구태여 설명해 스포일러가 되지 않기를 바란다. 다만 저자의 말대로 1부에서는 주로 수학의 언어를 규정했고, 2부에서는 수학의 힘을 통해 고차원과 무한 등 현실을 초월하는 개념을 다루었으며, 3부에서는 이런 논리적 추론을 다양한 문제에 적용해 4부에서는 실생활에 적용했다는 정도만 소개하겠다.
장담하건대 독자 여러분이 이 책을 다 읽고 나면, 대단한 수학 스토리텔러가 혜성처럼 등장했음을 알아차림과 동시에 아주 젊은 수학자가 새로운 시대의 문을 여는 순간에 서 있음을 느끼게 될 것이다. 모두 이 순간을 지켜보기 바란다.

― 이광연, 《수학, 인문으로 수를 읽다》 저자

감수의 글_발칙한 수학 스토리텔러의 발칙한 수학책!

들어가며_수학에 대한 오해



1부 순수한 별이 빛나는 수학의 밤하늘

1. 수학의 언어와 문법

엄밀함과 명료함은 수학의 생명

수학의 뼈대를 이루는 12개의 기호

논리 기호로 오목과 볼록을 표현해 보자!

과연 디멘의 주장은 맞았을까?



2. 빨대 구멍의 개수는 1개일까, 2개일까?

빨대를 조물조물

구멍 개수의 정의

* 뫼비우스 띠의 구멍 개수는?

‘조물거리다’의 정의



3. 수학의 탑 1층에는 공리가 있다

의미 없는 단어에서 의미를 만드는 방법

건반을 두드린다고 음악이 되는 건 아니다

유클리드 기하학과 비유클리드 기하학

괴델의 불완전성 정리

* 인간의 이성을 표현하는 12개의 추론 규칙



2부 자유로운 구름이 떠다니는 수학의 들판

1. 차원의 한계를 수학으로 넘어서기

아르센의 보물 훔치기

아르센의 보물 훔치기-속편

4차원 공이 3차원에서 굴러다닌다면?

4차원을 그리는 방법

가장 단순한 4차원 도형은?

우주의 모양을 탐험하다



2. 무한을 넘어, 더 무한한 무한으로

무한호텔에 어서오세요

모든 무한이 같지는 않다

셀 수 없을 정도로 큰 집합

연속체 가설과 알레프 수

완두콩으로 태양을 덮는 방법

* 수학계의 뜨거운 감자, 선택공리



3부 보물이 숨어 있는 수학의 숲

1. 문제 속에 감춰진 비둘기를 찾아서

보물이 숨어 있는 수학의 숲

두 개의 문제, 하나의 원리

* 생일이 같은 사람이 존재할 확률

정사각형과 비둘기 집

* 피타고라스 정리

두 번째 보물



2. 머그잔 안, 계핏가루의 왈츠

어린 시절의 소소한 탐구

갑자기 분위기 색칠놀이

슈페르너의 여행

증명의 클라인맥스

머그잔이 원형이라면?

커피의 숲을 떠나며 쓰는 기행문



3. 지구 정반대에 있는 인연을 찾아서

지구를 관통하는 터널

돌아온 도적 아르센

기온이 동일한 두 대척점이 존재할까?

* 흔들리는 탁자를 고치는 방법

보르수크-울람 정리

목걸이 문제에 숨어 있는 보르수크-울람 정리

* 해석기하가 처음인 분들을 위해

다시, 증명의 클라이맥스

마지막 떡밥



4부 수학의 눈으로 바라본 세상

1. 가장 효율적인 방법을 찾아서

비행기 탑승은 너무 느려

1,000권의 책을 정렬하라고요?

반으로 쪼개고 쪼개고 쪼개기

책을 가장 빠르게 정렬하는 방법

P vs. NP 문제

남의 떡이 작아 보이도록 분배하기



2. 인생은 게임이고, 게임은 수학이다

스타벅스 옆에는 커피빈이 있더라

죄수의 딜레마와 담배 회사

각설탕을 찾으러 간 마카롱과 찹쌀떡

도로를 더 만들었는데 교통체증이 심해진다?

* 찾을 수는 없지만 존재하는 것들



3. 실용적인 수학의 최고봉, 미적분

변화율로부터 미래를 예측하기

미분의 핵심 원리

* 적분의 핵심 원리

바이러스를 조금 더 잘 예측해 보자



4. 카오스 속에서 미래를 내다보는 수학

수학과 물리학이 창조한 신-라플라스의 악마

천체를 계산하나 수도꼭지의 물줄기는 계산하지 못하다

시치미 떼는 입자와 확률적 우주

절대로 예측할 수 없는 것에 대해



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