푸리에를 이해하여 파동을 정복하자!

우리를 둘러싼 '파동'에 대해 흥미롭게 파고드는 『수학으로 배우는 파동의 법칙』. 이론물리학, 음향학, 전자공학, 통신공학, 영상의학, 광학, 우주물리학 등의 분야에서 밤낮을 가리지 않고 중요하게 이용되고 있으나, 학교에서는 세세하게 다루어지지 않는 '파동'에 대한 교과서다. 수학이나 물리라면 끔찍해하는 학생들도 재미있게 배워나가도록 구성되어 있다. 특히 파동의 핵심인 '푸리에(Fourier) 변환'에 대해 집중적으로 살펴본다. 푸리에를 쉽게 이해하여 정복하도록 친절하게 설명한다. 혼자서도 흥미롭게 학습해가도록 대화 기법의 설명을 담아냈을 뿐 아니라, 만화 같은 그림을 곁들였다.

■■■ 물리학과 수학, 두 마리 토끼를 한꺼번에!

sin이나 cos으로 익숙한 삼각함수
운동하는 물체의 속도나 가속도를 구하기 편리한 미분
움직인 거리를 구할 수 있는 적분
계산상 편리한 허수단위 i
미분·적분 속에서도 특별한 의미를 가진 e
방향과 크기라는 두 가지 요소를 지닌 벡터

물리나 수학에서는 외따로 배우는 내용들이 '푸리에'라는, 파장을 해석하는 수식의 무대에 총출연한다.

본문의 내용은 음성에 대한 수수께끼에서 출발한다. 음성을 나타내는 도구인 파동을 FFT로 살펴보면서 ‘파동’을 해석하는 데 초점을 맞춘다. 파동은 물리학뿐 아니라 음향학, 광학, 전자공학, 진동해석, 신호처리, 통신공학을 비롯하여 임상진단의학의 중요한 부분인 영상의학에도 폭넓게 사용되고 있다. 따라서 과학도나 의학도를 꿈꾸는 사람에게 있어 파동은 필수적으로 공부해야 할 요소이다.
이 책은 파동을 해석하는 데 이용하는 FFT(고속 푸리에 변환)를 이해하는 데 그 목적을 두고 있다. 푸리에 변환은 파동에 있어 매우 중요하지만 그에 접근하기는 상당히 까다롭다. 푸리에 급수 ㆍ 계수는 삼각함수와 미적분에 그 바탕을 두고 있기 때문에 이에 대한 이해가 선행되지 않으면 공식의 의미를 이해하는 것조차 쉽지 않다.
이 책은 삼각함수에서 출발하여 미적분에 대한 이해와 복소수, 오일러 공식, 정사영과 직교에 이르기까지 푸리에 수학을 이해하는 바탕이 되는 내용을 차근차근 설명해간다. 그 때문에 ‘푸리에의 모험’을 끝내고 책을 덮은 후에는 파동에 관한 개념뿐 아니라 수학의 기초 실력이 탄탄하게 쌓인 느낌을 받을 것이다.

■■■ '푸리에'라는 이름이 멀게 느껴진다면 이 책부터 보자!

목차로는 그 내용을 알 수 없지만 본문을 펼치면 여느 자연과학서와는 다르다. 노트에 낙서한 듯 끼적거린 그림과 곳곳에 날아다니는 말풍선, 그리고 딱딱하게 설명만 하는 것이 아니라 독자에게 끊임없이 무언가를 물어본다.
이것이 바로 이 책의 가장 큰 특징이자 장점이라 할 수 있다. 물리학뿐만 아니라 각종 응용공학 분야, 의학에서도 중요하게 생각하는 ‘파동’에 관한 이야기를 담고 있는 책이 이런 분위기를 풍길 줄이야!
파동을 이해하는 데는 무엇보다 수학적 지식이 바탕이 되어야 한다. 더구나 파동에서 중요시되는 ‘푸리에 변환’을 이해하는 데 있어 고등학교에서 배우는 삼각함수나 미적분에 대한 이해는 필수적이다. 하지만 고급물리를 배우고 있는데 언제나처럼 ‘기초’가 부족함을 한탄하며 다시 고등학교 수학책을 붙들고 있을 수는 없지 않은가?
이 책은 그에 대한 고민을 말끔하게 씻어준다. 저자들은 여러 언어를 동시에 습득하는 프로그램 중 ‘음성에 대한 비밀’과 음성을 받아들이고 이해하는 ‘인간의 인식’에 대해 토론을 하다 ‘푸리에의 모험’에 뛰어들었다. 처음엔 삼각함수가 무엇인지, 푸리에가 사람 이름인지도 모른 채 출발하였다. 그러나 모험을 계속하고 수식 안에 담고 있는 비밀을 발견하면서 수학을 새로운 ‘언어’로 받아들인다.
전문가들만의 모임이 아니었기에 수학이나 물리를 알지 못하는 사람도 쉽게 이해하도록 설명하였다. 전공서적에서는 까다롭게만 느껴지는 ‘푸리에’의 언어는 초등학교 학생들에게조차 친근하게 다가가고 있음을 엿볼 수 있다.
또 다른 장점 중 하나는 ‘체험’이 가능하다는 것이다. 책 뒷부분의 부록은 가위와 풀을 사용하여 직접 오리고 붙이며 파동을 만들어보고 비교하도록 한다. 체험학습이 아이들에게 강조되는 이유는 그만큼 오래 기억에 남는다는 것인데 바로 그 점을 성인들을 위해 이 책에서 적용하고 있는 것이다.
파동의 세계에 입문하는 데 지금까지 수학이 걸림돌이 되었다면 이 책은 좋은 동반자가 될 것이다. 자, 망설이지 말고 푸리에와 함께 신나는 모험을 떠나자!

■■■ 추천사 _ 박용휘(성애병원 PET-CT 센터 소장)

우주와 우리 일상은 파동으로 꽉 차 있습니다. 실제로 파동은 이론물리학을 비롯하여, 음향학, 광학, 우주물리학, 전자공학, 진동해석, 신호처리, 화상처리, 데이터압축, 통신공학 등 실로 많은 분야에서 밤낮을 가리지 않고 이용되고 있습니다. 그뿐 아니라 파동은 현대 임상진단의학의 기둥인 초음파, 전산화단층촬영, 자기공면촬영, 펫(PET)을 포함한 영상의학에도 폭넓게 이용되고 있습니다.
그럼에도 불구하고 파동과 그 핵심인 푸리에(Fourier) 변환은 고등학교 교과과정에서 깊이 있게 다뤄지지 않습니다. 그러다 보니 대학에서 본격적인 수학 공부를 시작하려 할 때, 고등학교에서 수리 공부를 잘 하던 학생들마저도 파동에 대한 지식이 모자라 고생을 합니다.
이 책은 그토록 소중한, 그러면서 결코 만만치 않은 푸리에 변환을 이해하고 정복할 수 있도록 아주 자상하고 친절하게 가르치고 있습니다. 숫자나 공식을 무서워하는 사람에게도 친근감을 가지고 다가옵니다. 기본을 깨우치면 나머지는 큰 어려움 없이 터득할 수 있도록 정성껏 안내를 하고 있습니다. 예를 들어, 푸리에 급수를 배우는 데 필수적인 삼각함수와 미분·적분이 쉽고도 부드럽게 해설되어 있는 점이 돋보입니다. 뿐만 아니라 이 책은 자가학습을 할 수 있도록 대화법을 활용하면서, 실제 간단한 실습까지 곁들여 놓았습니다.
이 책이 나온 지 22년이 지났으나, 지금도 일본이나 미국에서 푸리에에 관해 가장 쉬운 입문서 중의 하나로 알려져 있습니다. 파동에 관심이 많으나 수학이 무서워 주저하고 계시는 분들께 이 책을 권합니다. 특히, 큰 꿈을 지닌 젊은 학생, 과학도, 의학도 그리고 과학에 흥미를 느끼고 계신 일반인에게도 좋은 읽을거리가 되리라 믿습니다. 이 책이 한국의 과학 수준을 드높이는 데 일조할 수 있기를 기대합니다.

추천의 글 _박용휘(성애병원 PET-CT 센터 소장)
첫머리에

Part 1
Chapter 1 푸리에 급수
Chapter 2 푸리에 계수
Chapter 3 불연속 푸리에 전개
Chapter 4 음성과 스펙트럼

Part 2
Chapter 5 미분
Chapter 6 sinθ의 미분
Chapter 7 적분
Chapter 8 정사영과 직교

Part 3
Chapter 9 e와 i
Chapter 10 오일러 공식
Chapter 11 푸리에 급수 전개의 복소 표현
Chapter 12 푸리에 변환과 파동의 불확정성
Chapter 13 FFT 방법

부록
해답
책을 마치며
참고 문헌